背景

这来自于我对证明中心极限定理的尝试。我可以很容易将其简化到二项分布的情形，而这就直接来自于Stirling公式。我可以很容易证明出极限的量级，但是对于2π\sqrt{2\pi}这个系数我迟迟没有好的解决办法，于是暂且搁置，先把前半部分放上。

问题与解答

prove:lim⁡n→∞n!(ne)n+12=const.Pf:  ⟺  lim⁡n→∞∑k=1nln⁡(k)−(n+12)(ln⁡(n)−1)=const.∵ln⁡(n+1)+(n+12)(ln⁡(n)−1)−(n+32)(ln⁡(n+1)−1)=1−(n+12)(ln⁡(n+1n)).∴∑k=1nln⁡(k)−(n+12)(ln⁡(n)−1)=32+∑k=1n−1(1−(n+12)(ln⁡(n+1n))).McLaurin:1−(n+12)(ln⁡(n+1n))=1−(n+12)(∑k=1∞n−k(−1)k−1k)=1−(n+12)(1n−12n2+Cnn3)where Cn<1.=Xnn−2+Ynn−3>0.where Xn,Yn<1.∴∑k=1nln⁡(k)−(n+12)(ln⁡(n)−1)=32+∑k=1n−1(Xnn−2+Ynn−3)<10.Q.E.D.\begin{aligned} &prove: \lim_{ n \to \infty } \frac{n!}{\left( \frac{n}{e} \right)^{n+\frac{1}{2}}}=const.\newline &Pf:\iff \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=1}^{n}\ln(k)-\left( n+\frac{1}{2} \right)(\ln(n)-1)=const.\newline &\because \ln(n+1)+\left( n+\frac{1}{2} \right)(\ln(n)-1)-\left( n+\frac{3}{2} \right)(\ln(n+1)-1)\newline &=1-\left( n+\frac{1}{2} \right)\left( \ln\left( \frac{n+1}{n} \right) \right).\newline &\therefore\sum_{k=1}^{n}\ln(k)-\left( n+\frac{1}{2} \right)(\ln(n)-1)=\frac{3}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}\left( 1-\left( n+\frac{1}{2} \right)\left( \ln\left( \frac{n+1}{n} \right) \right) \right).\newline &McLaurin: 1-\left( n+\frac{1}{2} \right)\left( \ln\left( \frac{n+1}{n} \right) \right)=1-\left( n+\frac{1}{2} \right)\left( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{n^{-k}(-1)^{k-1}}{k} \right)\newline &=1-\left( n+\frac{1}{2} \right)\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{C_{n}}{n^3} \right)where \ C_{n} <1.\newline &=X_{n}n^{-2}+Y_{n}n^{-3} > 0.where \ X_{n} ,Y_{n}<1.\newline &\therefore\sum_{k=1}^{n}\ln(k)-\left( n+\frac{1}{2} \right)(\ln(n)-1)=\frac{3}{2}+\sum_{k=1}^{n-1}\left( X_{n}n^{-2}+Y_{n}n^{-3} \right)<10.\newline &Q.E.D. \end{aligned}